Die Berechnung des Potenzkonzeptes der Potenz heißt Potenz, sie stellt ein Produkt aus n Faktoren dar; jeder Faktor ist a.Es ist auch definiert:eine Mittelbasis (Basiszahl)n bedeutet Exponent (hohe Zahl)Erste Potenz lawPotencies mit der gleichen Basis werden durch Addition der Exponenten und Aufrechterhaltung der gemeinsamen Basis multipliziert.zweite Potenz lawPotencies mit der gleichen Basis werden durch Subtraktion der Exponenten und Aufrechterhaltung der gemeinsamen Basis dividiert.
Dritte Machtgesetzmächte mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten multipliziert wird (Exponentierung ist eine mathematische Operation, geschrieben als b’n, mit zwei Zahlen, der Basis b und dem Exponenten n. Wenn n eine positive ganze Zahl ist, entspricht die Exponentierung der wiederholten Multiplikation der Basis: das heißt, bn ist das Produkt der Multiplikation von n Basen:). Vierte Machtgesetzmächte mit gleichen Exponenten werden geteilt, indem der Quotient der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten multipliziert wird.
Hinweis: Bei Potenzen mit gebrochenen Exponenten darf die Basis nicht negativ sein.
Mathematik
Die Fibonacci-Folge
Der italienische Mathematiker Fibonacci (eigentlich Leonardo von Pisa (Pisa ist eine Stadt in der Toskana, Mittelitalien, die den Arno überspannt, kurz bevor er in das Tyrrhenische Meer mündet), 1170 – 1250) stellt in seinem Buch “Liber Abaci” die folgende Aufgabe:
Ein Mann hält ein Kaninchenpaar an einem Ort, der vollständig von einem Moor umgeben ist. Wir wollen nun wissen, wie viele Kaninchenpaare in einem Jahr gezüchtet werden können, wenn die Natur es so eingerichtet hat, dass diese Kaninchen jeden Monat ein anderes Paar zur Welt bringen und Start in der zweite Monat danach ihre Geburt. Wenn du versuchen, die Frage zu beantworten, du. erhält die folgende Zahlenfolge:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Jede Zahl in dieser Sequenz wird durch Addition der beiden vorhergehenden Zahlen erhalten. In
der 12. Monat 144 Paare sind geboren, und insgesamt hat der Mann 377 Paare Kaninchen.. Wenn
Sie geben die n-te Nummer der Sequenz an, Sie können definieren: an+1 = an + + + an-1
(Eine solche Regel wird als “rekursiv” bezeichnet). Es zeigt an, wie jede Zahl der Sequenz aus den vorhergehenden Zahlen berechnet wird.) So unregelmäßig die Fibonacci-Sequenz auf den ersten Blick auch aussieht – es gibt zum Beispiel eine Fülle interessanter Eigenschaften zu entdecken: Das Quadrat jeder Zahl (von der zweiten) ist 1 mal kleiner oder größer al
Dreiecksarten
Im stumpfen Dreieck ist ein Winkel größer als 90 Grad.
Das rechte Dreieck hat einen Winkel von 90Grad. In einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die spitzen Winkel von 90Grad. Wenn einer der spitzen Winkel 30Grad in einem rechtwinkligen Dreieck misst (Ein rechtwinkliges Dreieck oder rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, in dem ein Winkel ein rechtwinkliger Winkel ist), ist der Katheter gegenüber halb so lang wie die Hypotenuse. Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt das Zentrum auf der Hypotenuse. Im rechteckigen Dreieck sind die durch die Höhe auf der Hypotenuse gebildeten Teildreiecke einander und dem gesamten Dreieck ähnlich. Im rechteckigen Dreieck ist der Kathet mittelproportional zur Hypotenuse und zu ihrer Projektion auf die Hypotenuse. Im rechteckigen Dreieck ist die Höhe auf der Hypotenuse mittelproportional zur Hypotenuse (in der Geometrie ist eine Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel entgegengesetzte Seite) von ihr gebildete Abschnitte.
In jedem spitzen Dreieck (Ein spitzes Dreieck ist ein Dreieck mit allen drei Winkeln spitz) ist jeder Winkel spitz.
Finanzen in Großbritannien
Britische Banken und Finanzinstitute
Großbritannien ist das weltweit führende Finanzzentrum und die Heimat eines florierenden internationalen Banken- und Finanzmarktes. Die historische `Quadratmeile` der Stadt London verfügt über die größte Konzentration von Banken weltweit und ist für ein Fünftel der gesamten internationalen Bankkredite verantwortlich. Sie beherbergt auch die weltweit größte Versicherungs- und Rückversicherungsbranche und eine der größten Börsen der Welt. Gemeinsam sind die britischen Finanzkommoditäten- und Futuresmärkte für den Löwenanteil des internationalen Geschäfts verantwortlich.
Als Beweis für seine Dominanz auf den Weltmärkten liegt der tägliche Geldumsatz allein auf den Londoner Börsen bei etwa 300 Milliarden Dollar, verglichen mit 192 Milliarden Dollar in New York und 128 Milliarden Dollar in Tokio. Am nächsten zum Umsatz Londons in Europa liegt Zürich mit einem Umsatz von über 68 Milliarden Dollar. Warum hat London eine führende Position im Finanzbereich eingenommen?
Heute ist die Stadt London (The City of London ist eine Stadt und Grafschaft innerhalb Londons) aus guten Gründen nach wie vor das weltweit führende internationale Finanzzentrum. Die Stadt bietet: ♦ Die größten internationalen Finanzmärkte der Welt ♦ Ein Zeitzonenvorteil im 24-Stunden-Globalhandel ♦ Umfassende Finanzkompetenz und Innovation ♦ Internationale Fachwerber ♦ Liberale Finanzregelungen ♦ Weltweite Kommunikation ♦ Ein
Teilweise Integration
1. Definition
Die partielle Integration ist eine Methode, um ein bestehendes Integral auf ein anderes, leichter berechenbares Integral zurückzuführen. Da es wichtig ist, den Integranden in ein Produkt aus zwei Faktoren aufzuteilen und dann eine Wurzelfunktion für einen Faktor festzulegen, wird diese Integrationsmethode als partielle Integration bezeichnet.
Diese Integrationsmethode ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn das neue Integral (auch Residualintegral genannt) einfacher ist als das alte, das sogenannte Ausgangsintegral.
Die Produktintegrationsformel wird aus der Produktregel der Differentialrechnung abgeleitet, weshalb die Teilintegration auch als Storno der Produktregel bezeichnet wird.
2. Ableitungsproduktregel (In der Mathematik ist die Produktregel eine Formel, mit der man die Derivate von Produkten mit zwei oder mehr Funktionen findet): Der deutliche Unterschied ist aus Ansatz 1 ersichtlich. D.h. Die Wahl von u und v´ ist entscheidend für den weiteren Berechnungsweg, um die Vereinfachung dieser Methode nutzen zu können.
Lineares Gleichungssystem
(Linearität ist die Eigenschaft einer mathematischen Beziehung oder Funktion, was bedeutet, dass sie grafisch als Gerade dargestellt werden kann) Gleichungssysteme In der Regel wird ein solches Gleichungssystem wie folgt aufgeschrieben: Ax + Ky = S Bx + Ly = T wobei x und y die beiden unbekannten zu berechnenden Werte darstellen; die Großbuchstaben ändern ihren Wert entsprechend den Anforderungen der Aufgabe. Eine solche Aufgabe könnte so aussehen: 3x – 2y = -8 4x + 6y = -12 Hier wäre A = 3, K = -2, S = -8….. Es gibt nun 3 verschiedene Methoden, um diese Gleichung zu lösen: Gleichungsverfahren Dieses Verfahren ist nützlich, wenn beide Gleichungen nach y (oder beide nach x) aufgelöst werden, wie z.B.: y = -2x + 8 y = 3x – 6 Hier gelangt man zu einer Gleichung mit einer unbekannten, indem man beginnt mit: y=y -2x + 8 = 3x – 6 Dann wird diese Gleichung nach x aufgelöst. Der x-Wert wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingefügt und der entsprechende y-Wert wird erhalten. Dieses Verfahren ist auch im Einzelfall sinnvoll, nämlich wenn nur eine der Gleichungen von y (oder x) gelöst wird. In diesem Fall kommen wir zu einer Gleichung mit einem Unbekannten wie folgt: y = -2x + 8 4x + 6y = -12 4x + 6(-2x +8) = -12 Was ist passiert? Sie müssen lediglich die rechte Seite der ersten Gleichung (entspricht y) in das y der zweiten Gleichung einfügen. Dann wird die Gleichung nach x gelö
Niels Henrik Abel (Niels Henrik Abel war ein norwegischer Mathematiker, der bahnbrechende Beiträge in verschiedenen Bereichen leistete)
Während der Napoleonischen Kriege (Die Napoleonischen Kriege waren eine Reihe von großen Konflikten, die das französische Reich und seine Verbündeten, angeführt von Napoleon I., gegen eine schwankende Reihe von europäischen Mächten, die in verschiedenen Koalitionen gebildet wurden, die hauptsächlich vom Vereinigten Königreich geführt und finanziert wurden), am 5. August 1802 wurde Abel in der Nähe von Stavanger (Stavanger ist eine Stadt und Gemeinde in Norwegen) in Norwegen geboren. Die Wirtschaft des Landes befand sich aufgrund politischer Turbulenzen in einer langwierigen Krise; das Leben der Bevölkerung war von Armut geprägt. In dieser schwierigen Zeit wuchs Abel mit sieben Geschwistern auf. Unter der Leitung seines Lehrers Bernt Holmbö entdeckte er schon früh sein Talent für Mathematik. Mit 16 Jahren studierte er bereits Originaltexte u.a. von Newton, Euler und Lagrange. Abel war einer der ersten, der Lücken in den Beweisen seiner Vorgänger entdeckte und beschloss, diese zu durcharbeiten. So gelang es ihm im Alter von 17 Jahren, den ersten wirklichen Beweis für die allgemeine Form des Binomialtheorems (In der elementaren Algebra beschreibt das Binomialtheorem die algebraische Erweiterung der Kräfte eines Binomials) für die Newton und Euler Sonderfälle gegeben hatten. Abel
Im 19. Jahrhundert soll der türkische Sultan Abdul Hamid II. (Abdul Hamid II. war der 34. Sultan des Osmanischen Reiches und der letzte Sultan, der eine effektive autokratische Kontrolle über den zerfallenden Staat ausübte) alle Verweise auf die Formel “H2O” aus den Chemiebüchern gestrichen haben. Der Sultan war fest davon überzeugt, dass das Symbol des Wassers nichts anderes bedeutet als “Hamid II ist eine Null”. Seine Hoheit mag damals ein wenig überreagiert haben – auch heute noch ist unser Verhältnis zu Null eher ambivalent. In Kaufhäusern wird sie vermieden, da sie bei 0,99 DM so viel weniger als 1,00 DM liegt. An
anderer Stelle werden die Bilanzen mit “Nullwachstum” beschönigt und potenzielle Kunden mit “Nulltarifen”
angelockt.
Sie wurde vor mehr als fünftausend Jahren erfunden bzw.”entdeckt”. Damals wurden die ersten Städte in Mesopotamien gebaut. Ihre Handels- und Verwaltungsstrukturen wurden schnell so komplex, dass die Mesopotamier ihre Verträge und Vorschriften niederschreiben mussten. Die Null, damals nur als Begriff für “nichts” verwendet, erwies sich als sehr nützlich. Ihr Wechsel von Zeichen zu Zahl sollte jedoch viel später erfolgen: um 900 v. Chr. in Indien.
Der Begriff “nichts” wurde zu einem mathematischen Vokabular (null – lat.: nulla figura, keine Zahl), das es ermöglichte, große Zahlen mit wenigen Ziffern darzustellen. Wenn es sie nicht gäbe, mü
I. Titelseite
ii. Inhaltsverzeichnis I. Titel Seite 1 II. Inhaltsverzeichnis 2 III. Einleitung 4 IV. Wie genau funktioniert GPS?
4 A. Positionierung 4 1. allgemeine 4 2. Position auf einer Geraden in Synchronuhren 5 3. Position auf einer Geraden in Asynchronuhren 5 4. Einführung des Pseudobereichs 6 5. Position in der Ebene 7 6. räumliche Positionierung durch vier Sender 8 B. Die Satellitensignale 10 1.Ephemeriden- und Almanachdaten 12 3. Signalverschiebung 14 C. Geschwindigkeitsbestimmung 16 1. Bestimmung durch räumliche Änderung 16 2. Berechnung durch Dopplerfrequenzverschiebung von Signalen 16 V. GPS in Entwicklung und aktueller Nutzung 17 A. Die Entwicklung des GPS-Systems 17 B. Der Aufbau eines GPS-Satelliten 19 C. Wie kommt ein solcher Satellit in die Umlaufbahn?
21 D. GPS 21 Anwendungen 1. militärische Nutzung 21 2. zivile Nutzung 22 E. Selektive Verfügbarkeit ( SA) 23 F. GPS 24 VI. Zusammenfassung 25 VII. Anhang 25 A. Anhänge 25 B. Lange Zeit versuchte man, seine Position auf der Karte mit einfachen Mitteln zu bestimmen, zum Beispiel mit dem Sextanten und der Senkrechten, wie in den Bereichen der Navigation. Diese Navigation war noch mit erheblichem Aufwand verbunden und die notwendigen Mittel standen nicht unbedingt allen zur Verfügung. In der heutigen High-Tech-Welt sind vorgefertigte Navigations- und Positionierungslösungen für jedermann erschwinglich und ver
Obwohl sie relativ unbekannt sind. Sie haben aber nicht nur einen theoretischen Wert, sondern werden auch häufig in der Praxis, insbesondere in der Architektur, eingesetzt. Drei der hyperbolischen Funktionen werden im Folgenden hauptsächlich diskutiert: der hyperbolische Sinus, der hyperbolische Kosinus und der hyperbolische Tangens (kurz: sinh x, cosh x, tanh x). Der Kotangens Hyperbolicus wird nicht weiter diskutiert, weil er nicht so viel Bedeutung hat und einfach die umgekehrte Funktion des hyperbolischen Tangens ist. Wie Sie dem Namen entnehmen können, gibt es Analogien zwischen diesen Funktionen und den trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens). Die hyperbolischen Funktionen haben aufgrund ihrer Definition auf der Einheit hyperbolisch den Zusatz hyperbolisch im Namen erhalten (siehe Definition). Ich werde mich zunächst mit den Funktionsgleichungen und den Graphen beschäftigen, dann mit der Definition in Bezug auf die Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und schließlich mit den Ableitungen, der Reversibilität und der Anwendung der hyperbolischen Funktionen. Die Funktionsgleichungen der hyperbolischen Funktionen sind wie folgt: Wie Sie sehen, setzen sie sich aus den Exponentialfunktionen f(x)=ex und g(x)=e -x zusammen. Die obigen Funktionen sind natürliche Exponentialfunktionen und werden auch Wachstumsfunktionen genannt. Sie dienen der Be
[Weiterlesen…] ÜberHyperbolische Funktionen – ein Plädoyer für mehr Beachtung funktionaler Exoten