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Die Fibonacci-Folge
Der italienische Mathematiker Fibonacci (eigentlich Leonardo von Pisa (Pisa ist eine Stadt in der Toskana, Mittelitalien, die den Arno überspannt, kurz bevor er in das Tyrrhenische Meer mündet), 1170 – 1250) stellt in seinem Buch “Liber Abaci” die folgende Aufgabe:
Ein Mann hält ein Kaninchenpaar an einem Ort, der vollständig von einem Moor umgeben ist. Wir wollen nun wissen, wie viele Kaninchenpaare in einem Jahr gezüchtet werden können, wenn die Natur es so eingerichtet hat, dass diese Kaninchen jeden Monat ein anderes Paar zur Welt bringen und Start in der zweite Monat danach ihre Geburt. Wenn du versuchen, die Frage zu beantworten, du. erhält die folgende Zahlenfolge:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Jede Zahl in dieser Sequenz wird durch Addition der beiden vorhergehenden Zahlen erhalten. In
der 12. Monat 144 Paare sind geboren, und insgesamt hat der Mann 377 Paare Kaninchen.. Wenn
Sie geben die n-te Nummer der Sequenz an, Sie können definieren: an+1 = an + + + an-1
(Eine solche Regel wird als “rekursiv” bezeichnet). Es zeigt an, wie jede Zahl der Sequenz aus den vorhergehenden Zahlen berechnet wird.) So unregelmäßig die Fibonacci-Sequenz auf den ersten Blick auch aussieht – es gibt zum Beispiel eine Fülle interessanter Eigenschaften zu entdecken: Das Quadrat jeder Zahl (von der zweiten) ist 1 mal kleiner oder größer al
s das Produkt der vorhergehenden und folgenden Zahl: 1² = 1× 2-1, 2² = 1× 3+1, 3² = 2× 5-1, 5² = 3× 8+1…. Die Summe der ersten n Zahlen ist 1 kleiner als die (n+2)-te Zahl: 1 = 2-1, 1+1 = 3-1, 1+1+2 = 5-1, 1+1+2+3 = 8-1 ….. Die Summe der Quadrate der ersten n Zahlen ist gleich dem Produkt aus der n-ten und der (n+1)-ten Zahl: 1² = 1× 1, 1²+1² = 1× 2, 1²+1²+2² = 2× 3, 1²+1²+2²+3² = 3× 5 … Und eine der wichtigsten Eigenschaften: Berechnen Sie die Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5…. dann erhält man immer bessere Annäherungen für die Zahl j, den “Goldenen Schnitt” (In der Mathematik sind zwei Größen im Goldenen Schnitt, wenn ihr Verhältnis gleich dem Verhältnis ihrer Summe zur größeren der beiden Größen ist) “. Die rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen ist recht umständlich z.B. wenn Sie die 100. Zahl berechnen wollen, müssen Sie zuerst die ersten 99 Zahlen bestimmen. Mit Hilfe der “Binet-Formel” können Sie direkt aus n berechnen: Überraschenderweise erscheinen die Fibonacci-Zahlen auch in der Natur: Die Blätter oder Früchte von Pflanzen bilden oft spiralförmige Muster. Über Leonardos Leben ist wenig bekannt. Die Schaffung eines Dezimalsystems auf Basis des Positionssystems ist eine der wichtigsten kulturellen Errungenschaften der indischen Völker. Das indische System ist in Bagdad (Bagdad ist die Hauptstadt der Republik Irak ) im 8. Jahrhundert bekannt. Die Araber nahmen dieses indische System auf, und da der größte Teil Spaniens von den Arabern dominiert wurde, erreichten die indischen Ideen auch Europa und wurden den lateinischen Gelehrten bekannt. Der entscheidende Durchbruch der “indischen Berechnungsweise” erfolgte durch das Buch “Liber abbaci” (1202) von Leonardo von Pisa. Als Sohn eines italienischen Diplomaten in Nordafrika (Nordafrika oder Nordafrika ist die nördlichste Region Afrikas) lernte er bald die arabische Wissenschaft kennen, und er benutzte die indisch-arabischen Zahlen fortlaufend und demonstrierte damit die Vorteile des dekadischen Ortssystems. Immer schneller dringen die indischen Berechnungsmethoden in die Buchhaltungssysteme der Händler und damit in die Schulräume vor. Die Practica geometriä’ (1220) verbreiteten arabische Ziffern (Das hindu-arabische Zahlensystem ist ein dezimales Zahlensystem, ist das gebräuchlichste System für die symbolische Darstellung von Zahlen in der Welt) und indische Arithmetik in ganz Europa. Die Annäherung an pi betrug 864/275 (=3,14182) und 1440/458,33 (=3,14182). Erstmals gingen die in diesen Büchern behandelten zahlen-theoretischen Probleme und die angegebenen Lösungsansätze über das Wissen des arabischen (und auch des griechischen) Kulturkreises hinaus. Auch Leonardo von Pisa (Fibonacci war ein italienischer Mathematiker, der als “der talentierteste westliche Mathematiker des Mittelalters” galt) mag – wenn auch sehr vorsichtig – negative Zahlen als Schulden dargestellt haben. Bereits 1202 wurde die Fibonacci-Sequenz (In der Mathematik sind die Fibonacci-Zahlen die Zahlen in der folgenden ganzzahligen Sequenz, der so genannten Fibonacci-Sequenz, dadurch gekennzeichnet, dass jede Zahl nach den ersten beiden die Summe der beiden vorhergehenden ist:) von Zahlen geschaffen, für die er heute noch bekannt ist. 0,1,1,1,2,3,5,8,13,21,34, ……….. oder allgemein xn+2 = xn+1 + xn