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Obwohl sie relativ unbekannt sind. Sie haben aber nicht nur einen theoretischen Wert, sondern werden auch häufig in der Praxis, insbesondere in der Architektur, eingesetzt. Drei der hyperbolischen Funktionen werden im Folgenden hauptsächlich diskutiert: der hyperbolische Sinus, der hyperbolische Kosinus und der hyperbolische Tangens (kurz: sinh x, cosh x, tanh x). Der Kotangens Hyperbolicus wird nicht weiter diskutiert, weil er nicht so viel Bedeutung hat und einfach die umgekehrte Funktion des hyperbolischen Tangens ist. Wie Sie dem Namen entnehmen können, gibt es Analogien zwischen diesen Funktionen und den trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens). Die hyperbolischen Funktionen haben aufgrund ihrer Definition auf der Einheit hyperbolisch den Zusatz hyperbolisch im Namen erhalten (siehe Definition). Ich werde mich zunächst mit den Funktionsgleichungen und den Graphen beschäftigen, dann mit der Definition in Bezug auf die Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und schließlich mit den Ableitungen, der Reversibilität und der Anwendung der hyperbolischen Funktionen. Die Funktionsgleichungen der hyperbolischen Funktionen sind wie folgt: Wie Sie sehen, setzen sie sich aus den Exponentialfunktionen f(x)=ex und g(x)=e -x zusammen. Die obigen Funktionen sind natürliche Exponentialfunktionen und werden auch Wachstumsfunktionen genannt. Sie dienen der Be
schreibung von Wachstum, insbesondere bei natürlichen Prozessen, der Zinsberechnung oder dem Zerfall (z.B. radioaktiver Zerfall). Die nach Leonhard Euler (1707-1783) benannte transzendente Zahl e (e = 2,7182….) ist die Grundlage der natürlichen Logarithmen (eine Zahl ist transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung eines beliebigen (endlichen) Grades (in der Mathematik ist eine algebraische Gleichung oder Polynomgleichung eine Gleichung der Form) ree mit ganzzahligem Koeffizienten auftritt). Die e (Eine ganze Zahl ist eine Zahl, die ohne eine gebrochene Komponente geschrieben werden kann) -Funktion f(x) = ex bleibt während der Differenzierung und Integration unverändert.
Nun werden die Funktionswerte der beiden Funktionen an jeder Position addiert: Der Graph von h(x) = ex + e x (in grün) wird erstellt. Da die Funktionswerte der Exponentialfunktionen auf einer Seite (für g(x) gegen + und für f(x) gegen – ) immer kleiner werden, nähert sich Gh immer mehr Gg und Gf (Gf im ersten und Gg im zweiten Quadranten). Die beiden Exponentialfunktionen sind also Asymptoten für h(x). Nun ist h(x) nicht die letzte Cosinus-Hyperbelfunktion. Sie wird immer noch mit ½ gedehnt. Die Funktion k(x) = cosh x hat ihren Tiefpunkt bei P(0/1) wie die Exponentialfunktionen f(x) und g(x). Die Asymptoten für k(x) sind nun m(x) = ½ e x und n(x) = ½ e x. Gk nähert sich den Asymptoten sehr schnell, und ab x = 5 haben die Funktionswerte von k(x) und dem zugehörigen Asymptote den gleichen Wert (In der analytischen Geometrie ist ein Asymptote einer Kurve eine Linie, so dass der Abstand zwischen der Kurve und der Linie Null ist, da sie zur Unendlichkeit neigen) mit Ausnahme von zwei Dezimalstellen. Schließlich, wie beim hyperbolischen Kosinus, wird der Graph nur mit ½ gedehnt. Hier sind nun u(x) = ½ ex und v(x) = – ½ e -x asymptotes. Durch Addition der Exponentialfunktionen läuft der Funktionsgraph des hyperbolischen Kosinus über die Asymptoten und befindet sich
sozusagen im Inneren, während er im hyperbolischen Sinus entlang der Außenseite der Asymptoten verläuft. Die Grafik des Cosinus-Hyperbolus im ersten Quadranten liegt also innerhalb der Sinus-Hyperbolus-Kurve (siehe auch Abbildung unten). Die hyperbolische Tangente hat ihren Wendepunkt im Ursprung. Da sich die Funktionswerte von hyperbolischem Sinus und hyperbolischem Kosinus im ersten Quadranten immer ähnlicher werden (dasselbe geschieht im dritten Quadranten mit den Beträgen der Funktionswerte), gilt: . So wie Sie die trigonometrischen Funktionen auf dem Einheitskreis definieren können, können Sie auch die hyperbolischen Funktionen auf der sogenannten Einheitshyperbel definieren. Die Einheit Hyperbel ist eine gleichseitige h (In der Geometrie, die Einheit Hyperbel ist die Menge der Punkte in der kartesischen Ebene, die erfüllt In der Studie von unbestimmten orthogonalen Gruppen, die Einheit Hyperbel bildet die Grundlage für eine alternative radiale Länge) yperbola und hat die Gleichung (In der Mathematik, eine Hyperbel ist eine Art von glatten Kurve liegt in einer Ebene, definiert durch seine geometrischen Eigenschaften oder durch Gleichungen, für die er die Lösungsmenge ist) n x2 y2 = 1, schneidet er die Abszisse bei x=±1, und die bi (in der Mathematik ist eine Abszisse die Zahl, deren Absolutwert der senkrechte Abstand eines Punktes von der vertikalen Achse ist) Sektoren der Winkel bilden Asymptoten. Die Funktionsgleichung der Einheitenhyperbel macht auch die Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen klarer, der Einheitskreis hat eine sehr ähnliche Gleichung, d.h. x2 + y2 = 1. Die trigonometrischen Funktionen sind wie folgt in einem allgemeinen Dreieck definiert: Der Sinus im Dreieck OPPo ist der entgegengesetzte Kathete (da die Hypothenuse der Radius des Einheitskreises und damit gleich 1 ist), der Kosinus ist der Ankathete. Die Tangente ist der Abstand, der auch die Tangente zum Einheitskreis an Position x = 1 ist. Alle Funktionen sind hier an einer ähnlichen Stelle wie die entsprechenden Pendants der trigonometrischen Funktionen definiert. Auf der Einheit Hyperbel sind die Koordinaten des Punktes P(cosh x/sinh x). Auch hier ist die Tangente gleich der Tangente zur Einheit Hyperbubble an Position x = 1. An der Einheit Hyperbubble kann man auch sehen (Hyperbubble ist ein internationales Electropop/Synthpop-Duo aus San Antonio, Texas, gebildet von Jeff DeCuir und Jess Barnett DeCuir) an der hyperbolischen Tangente ist definiert als der Quotient aus hyperbolischem Sinus und hyperbolischem Kosinus: Nach dem zweiten Satz, also…… Der Parameter x der hyperbolischen Funktionen ist nicht der Winkel im Dreieck oder das Bogenmaß an der Einheit (Der Bogenmaß ist die Standardeinheit des Winkelmaßes, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird) Kreis, wie beim Trigon (In der Mathematik ist ein Einheitskreis ein Kreis mit einem Radius von eins) ometrische Funktionen, aber er ist auf einen Bereich bezogen. Der schraffierte Bereich (siehe oben), begrenzt durch die Gerade, die Einheitenhyperbel und die x-Achse, ist genau die Hälfte des entsprechenden Parameters. Für Punkte im vierten Quadranten wird x zu 0 <0 gewählt, da die Fläche dort ein negatives Vorzeichen besitzt. Zusammenhänge Zwischen den einzelnen hyperbolischen Funktionen bestehen, genau wie zwischen den trigonometrischen Funktionen, Zusammenhänge. Den ersten Zusammenhang erhält man aus der Gleichung der Einheitshyperbel x2 y2 = 1. Wenn man jetzt die Koordinaten des Punktes P (cosh x/sinh x) (siehe Definition) einsetzt, erhält man – cosh2x sinh2x = 1. Wieder besteht eine Analogie zu den trigonometrischen Funktionen (vgl. cos2 x + sin2x = 1). Weitere Zusammenhänge sind: – cosh x + sinh x = ex (sowie cosh x sinh x = e-x) Rechnung: – 2 cosh x sinh x = sinh 2x (vgl.: 2 cos x sin x = sin 2x) Rechnung: – cosh 2x + sinh 2x = cosh 2x Rechnung: Außerdem gibt es die Additionstheoreme, die auch für die trigonometrischen Funktionen bestehen: – cosh (x±y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y (vgl.: cos(x±y) = cos x cos y ± sin x sin y) Rechnung (hier nur für einen Fall): – sinh (x±y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y (vgl.: sin (x±y) = sin x cos y ± cos x sin y) Rechnung: Es gibt noch viele weitere Zusammenhänge, hier wurden nur die wichtigsten und einprägsamsten genannt. Ableitungen Wie bei den trigonometrischen Funktionen entsteht bei mehrmaligem Ableiten des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Cosinus ein Zyklus, in dem nur hyperbolische Funktionen vorkommen. Anders als bei den trigonometrischen Funktionen, wo die Ursprungsfunktion erst nach viermaligem Ableiten auftritt, erscheint sie bei den Hyperbelfunktionen schon nach der zweiten Ableitung, also gilt f(x) = f(x). Das erklärt sich, wenn man die Gleichungen der Hyperbelfunktionen betrachtet, hier beispielsweise die des Cosinus hyperbolicus: Da bekannterweise die Wachstumsfunktion f(x)=ex gleich ihrer Ableitung ist (und so ist auch [e-x] = -e-x)(siehe auch Exponentialfunktionen), ändert sich auch immer nur das Vorzeichen im Zähler der Funktionsgleichung; ½ bleibt als konstanter Faktor erhalten. Also wechselt der Ableitungszyklus immer zwischen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus. Kurz gefasst: f(x)=sinh x; f(x)=cosh x; f(x)=sinh x; f(x)=cosh x usw. Der Tangens hyperbolicus ist da schon etwas komplizierter. Er folgt keinem regelmäßigen Zyklus. Hier wird die Ableitung mit Hilfe der Definition gebildet: Umkehrbarkeit Alle Hyperbelfunktionen, außer dem Cosinus hyperbolicus, sind ohne Einschränkungen umkehrbar. Der Cosinus hyperbolicus wird für die Umkehrfunktion nur eingeschränkt definiert, für x=[0,∞]. Also wird nur der rechte Zweig dieser Funktion (im ersten Quadranten) umgekehrt. Die Umkehrfunktionen besitzen auch einen eigenen Namen, sie werden Areafunktionen genannt. Das hängt mit der Flächenbedeutung des Parameters x zusammen (siehe Definition). Die Umkehrfunktionen heißen also Area Cosinus hyperbolicus, Area Sinus hyperbolicus usw. (Kurzschreibweisen: arcosh x, arsinh x, artanh x). Die Funktionsg (In mathematics, the inverse hyperbolic functions are the inverse functions of the hyperbolic functions) leichungen der Umkehrfunktionen erhält man durch Auflösen der ursprünglichen (“Auflösen” is a song by Die Toten Hosen , namely a duet between Campino and Birgit Minichmayr) Gleichungen nach ex (mit der p-q-Formel) und Variablentausch. Die zweite formale Lösung der quadratischen Gleichung fällt weg, da ex >und der Logarithmus darf per Definition kein neg (in der Mathematik ist der Logarithmus die umgekehrte Operation zur Potenzierung) haben. Das gleiche Muster kann auch verwendet werden, um den hyperbolischen Kosinus umzukehren. Die Cosinus-Hyperbolicus-Kurve wird auch als Kettenlinie oder Seilkurve bezeichnet. Wird beispielsweise ein Seil, das nur durch sein Eigengewicht belastet wird, an zwei Punkten symmetrisch zur y-Achse aufgehängt, beschreibt das Seil den Verlauf dieser Kettenlinie oder Seilkurve. Die Ableitung der Cosinus-Hyperbolus-Funktion, des hyperbolischen Sinus, beschreibt dann die Steigung dieser Kurve. Diese Kurven sind auch für den Bau von Hochspannungsmasten von entscheidender Bedeutung. Diese Kurven werden auch in der Architektur verwendet. Die Träger mehrerer Donaubrücken und auch, f (Die Donau ist nach der Wolga der zweitlängste Fluss Europas und auch der längste Fluss in der Europäischen Union) oder die Stahlseile der Golden Gate Bridge in San Francisco (s (Die Golden Gate Bridge ist eine Hängebrücke über die Golden Gate Strait, der Kanal zwischen San Francisco Bay und dem Pazifik) ee Abbildung 1) bilden eine Seilkurve. Es kann auch ein freistehender Bogen sein, wie der Gateway Arch in St. Louis (Figur (Der Gateway Arch ist ein Denkmal in St. Louis in den USA ) e 2). Die umgekehrte Kurve wird dort wegen ihrer hohen Stabilität verwendet. Aber diese Konstruktionen werden nicht nur seit einigen Jahren genutzt, sondern wurden bereits in der Antike von den Griechen für den Bau von Tempelsäulen verwendet. Die Gleichung der Kettenlinie war zu diesem Zeitpunkt natürlich noch nicht bekannt, aber die Form eines durchhängenden Seils wurde nachgeahmt. Lange Zeit wurde auch angenommen, dass die Gleichung einer Seilbahnkurve ein Gleichnis sei (z.B. Galileo Galilei vertrat diese Ansicht). In (Galileo Galilei war ein italienischer Universalgelehrter: Astronom, Physiker, Ingenieur, Philosoph und Mathematiker) 1691 eröffnete der berühmte Mathematiker Jacob Bernoulli einen Wettbewerb (Jacob Bernoulli war einer der vielen prominenten Mathematiker in der Familie Bernoulli ) , um die Gleichung dieser Linie herauszufinden. Daraufhin die Mathematiker Huygens, Leibniz und Johann Bernoull (Gottfried Wilhelm Leibniz war ein deutscher Universalgelehrter und Philosoph, der einen prominenten Platz in der Geschichte der Mathematik und der Philosophie einnimmt, mit entwickelten Differential- und Integralrechnung unabhängig von Isaac Newton ) i unabhängig Disco (Johann Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker und war einer der vielen prominenten Mathematiker in der Bernoulli-Familie) veredelt die funktionelle Gleichung der hyperbolischen (In der Mathematik, eine funktionelle Gleichung ist jede Gleichung, die eine Funktion in impliziter Form) osine. Schließlich habe ich hav (In der Mathematik, hyperbolische Funktionen sind Analoga der gewöhnlichen trigonometrischen oder kreisförmigen Funktionen) e mit hyperbolischen Funktionen in diesem Papier zu zeigen, dass sie interessant sind und praktische Funktionen, die tatsächlich verdienen mehr Aufmerksamkeit. Die Tatsache, dass sie ihren eigenen Namen haben, beweist, dass sie nicht unwichtig sind. 0 gewählt, da die Fläche dort ein negatives Vorzeichen besitzt. Zusammenhänge Zwischen den einzelnen hyperbolischen Funktionen bestehen, genau wie zwischen den trigonometrischen Funktionen, Zusammenhänge. Den ersten Zusammenhang erhält man aus der Gleichung der Einheitshyperbel x2 y2 = 1. Wenn man jetzt die Koordinaten des Punktes P (cosh x/sinh x) (siehe Definition) einsetzt, erhält man – cosh2x sinh2x = 1. Wieder besteht eine Analogie zu den trigonometrischen Funktionen (vgl. cos2 x + sin2x = 1). Weitere Zusammenhänge sind: – cosh x + sinh x = ex (sowie cosh x sinh x = e-x) Rechnung: – 2 cosh x sinh x = sinh 2x (vgl.: 2 cos x sin x = sin 2x) Rechnung: – cosh 2x + sinh 2x = cosh 2x Rechnung: Außerdem gibt es die Additionstheoreme, die auch für die trigonometrischen Funktionen bestehen: – cosh (x±y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y (vgl.: cos(x±y) = cos x cos y ± sin x sin y) Rechnung (hier nur für einen Fall): – sinh (x±y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y (vgl.: sin (x±y) = sin x cos y ± cos x sin y) Rechnung: Es gibt noch viele weitere Zusammenhänge, hier wurden nur die wichtigsten und einprägsamsten genannt. Ableitungen Wie bei den trigonometrischen Funktionen entsteht bei mehrmaligem Ableiten des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Cosinus ein Zyklus, in dem nur hyperbolische Funktionen vorkommen. Anders als bei den trigonometrischen Funktionen, wo die Ursprungsfunktion erst nach viermaligem Ableiten auftritt, erscheint sie bei den Hyperbelfunktionen schon nach der zweiten Ableitung, also gilt f(x) = f(x). Das erklärt sich, wenn man die Gleichungen der Hyperbelfunktionen betrachtet, hier beispielsweise die des Cosinus hyperbolicus: Da bekannterweise die Wachstumsfunktion f(x)=ex gleich ihrer Ableitung ist (und so ist auch [e-x] = -e-x)(siehe auch Exponentialfunktionen), ändert sich auch immer nur das Vorzeichen im Zähler der Funktionsgleichung; ½ bleibt als konstanter Faktor erhalten. Also wechselt der Ableitungszyklus immer zwischen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus. Kurz gefasst: f(x)=sinh x; f(x)=cosh x; f(x)=sinh x; f(x)=cosh x usw. Der Tangens hyperbolicus ist da schon etwas komplizierter. Er folgt keinem regelmäßigen Zyklus. Hier wird die Ableitung mit Hilfe der Definition gebildet: Umkehrbarkeit Alle Hyperbelfunktionen, außer dem Cosinus hyperbolicus, sind ohne Einschränkungen umkehrbar. Der Cosinus hyperbolicus wird für die Umkehrfunktion nur eingeschränkt definiert, für x=[0,∞]. Also wird nur der rechte Zweig dieser Funktion (im ersten Quadranten) umgekehrt. Die Umkehrfunktionen besitzen auch einen eigenen Namen, sie werden Areafunktionen genannt. Das hängt mit der Flächenbedeutung des Parameters x zusammen (siehe Definition). Die Umkehrfunktionen heißen also Area Cosinus hyperbolicus, Area Sinus hyperbolicus usw. (Kurzschreibweisen: arcosh x, arsinh x, artanh x). Die Funktionsgleichungen der Umkehrfunktionen erhält man durch Auflösen der ursprünglichen (“Auflösen” is a song by Die Toten Hosen , namely a duet between Campino and Birgit Minichmayr) Gleichungen nach ex (mit der p-q-Formel) und Variablentausch. Die zweite formale Lösung der quadratischen Gleichung fällt weg, da ex .Sie werden in der Praxis verwendet und sind auch in der Theorie aufgrund ihrer Analogien zu den trigonometrischen Funktionen (in der Mathematik sind die trigonometrischen Funktionen Funktionen eines Winkels), der Herkunft aus den Exponentialfunktionen, der Regelmäßigkeit ihrer Ableitungen und ihrer Definition an der Einheit Hyperbel recht attraktiv. Kleine Enzyklopädie Mathematik. Analyse für Ingenieure.